مطالعه‌ای بر روش درون‌یابی کریجینگ

پایان نامه کارشناسی و کارشناسی ارشد در رشته ی های آمار و ریاضی و آمارریاضی با عنوان:

فرمت : ورد با قابلیت ویرایش در متن

تعداد صفحات: ۷۸صفحه با فونت bnazanin

برای آشنایی بیشتر شما با موضوع و متن موجود در فایل اصلی بخشی از مطالب در زیر آورده شده است تا شما پس از مطالعه با اطمینان خرید کنید.

چکیده

ابتدا روش درون‌یابی کریجینگ را با دو رویکرد متفاوت معرفی می‌کنیم و به تعریف معنای درون‌یابی و کریجینگ می‌پردازیم. در رویکرد اول کریجینگ به سه روش: ۱-کریجینگ ساده ۲-کریجینگ معمولی و ۳-کریجینگ با روند تقسیم می‌شود و در رویکرد دوم الگوریتم کریجینگ توضیح داده می‌شود.

روش سطح پاسخ روشی برای بهینه‌سازی طرح آزمایش‌ها است. دو مفهوم اساسی در روش سطح پاسخ بررسی می‌شود، اول انتخاب مدل تقریبی و دوم، طرح آزمایش که در آن پاسخ ارزیابی می‌شود. طرح آزمایش‌ها به ۱-روش آدوز-اگلیز ۲-طرح مکعب لاتین ۳- روش تاگوچی برای طرح آزمایش ۴-طرح D-بهینگی ۵-طرح مرکب مرکزی ۶- طرح کامل فاکتوریل تقسیم می‌شود. توضیحاتی مختصر راجع به شبکه عصبی، تاریخچه و مقایسه آن با شبکه عصبی زیستی در فصل دوم داده شد. شبکه‌های عصبی مصنوعی با ایده‌گرفتن از سیستم عصبی بدن انسان فرضیه‌هایی در مورد عملکرد نورون‌ها ارائه می‌کند.

در فصل سوم مقایسه مختصری بین روش سطح پاسخ، شبکه عصبی و کریجینگ صورت گرفته و هدف یافتن فرمولی برای کم کردن هزینه‌ی کریجینگ در داده‌های نمونه‌ای با تعداد زیاد می‌باشد. روش سطح پاسخ به منظور مسئله‌ی بهینه‌سازی با تعداد کمی از متغیرهای طرح است و فضای جواب‌های آن پیچیده نیست اما دارای مشکلاتی مانند نیاز به فرض تقریبی تابع پایه و به‌کار‌بردن روش سطح پاسخ بر اساس برنامه‌ریزی آزمایشی برای مسئله با بسیاری از متغیرهای طرح است. شبکه عصبی برای بهینه‌سازی تقریبی برای حل مسایل بهینه‌سازی دشواراستفاده می‌شود. شبکه عصبی در برازش انعطاف‌پذیری بیشتری نسبت به روش سطح پاسخ دارد. با این حال شبکه عصبی نیز دارای برخی از مشکلات عملی مانند هزینه‌های محاسباتی متحمل شده برای یادگیری است. روش کریجینگ یکی از روش‌های برآورد در ابعاد بالا با استفاده از اطلاعات نمونه است با استفاده از تعداد زیادی از داده‌های نمونه‌ای می‌توان شبکه عصبی یا روش کریجینگ را به منظور برآورد تابع مختلط به کار برد. با ‌این‌حال، افزایش تعداد داده‌های نمونه‌ای به‌ طور کلی باعث هزینه‌ی محاسباتی بالاتر می‌شود. هزینه‌ی محاسباتی روش کریجینگ برای تعیین مدل برآورد چندان بالا نیست، با‌ این‌حال،برای برآورد مقدار تابع در هر مکان، بالاتر از شبکه عصبی یا روش سطح پاسخ خواهد بود.

فصل چهارم به بررسی رابطه بین مرز و خطای برآورد می‌پردازد و بهینه‌سازی ساختار پرتو را مد نظر قرار داده است.

واژه‌های کلیدی:درون‌یابی، برآورد کریجینگ، نیمه‌واریوگرام‌ها، روش سطح پاسخ، طرح آزمایش‌ها، شبکه عصبی، بهینه‌سازی ساختار، خطای برآورد، هزینه‌ی محاسباتی

فهرست مطالب

چکیده ج‌

پیشگفتار. ۱

فصل اول. ۳

کریجینگ.. ۳

۱-۲ مزایای استفاده ازکریجینگ.. ۴

۱-۳ روش کریجینگ و اصطلاحات.. ۵

۱-۴ مبانی کریجینگ.. ۶

۱-۴-۱ کریجینگ ساده ۷

۱-۴-۲ کریجینگ معمولی. ۱۳

۱-۴-۳ کریجینگ با روند. ۱۶

۱-۵ تعریف کریجینگ با رویکردی متفاوت.. ۱۷

۱-۵-۱ الگوریتم کریجینگ.. ۲۵

۱-۵-۲ شعاع همواری کلی. ۲۶

۱-۶ نیمه‌واریو‌گرام‌ها ۳۰

فصل دوم. ۳۲

روش سطح پاسخ و شبکه عصبی. ۳۲

۲-۱ روش سطح پاسخ. ۳۲

۲-۲ تابع مدل تقریبی. ۳۴

۲-۳ طرح آزمایش‌ها ۳۵

۲-۳-۱ طرح کامل فاکتوریل. ۳۶

۲-۳-۲ طرح مرکب مرکزی.. ۳۸

۲-۳-۳ طرح D-optimal 39

۲-۳-۴ سهم تاگوچی برای طرح آزمایش… ۴۰

۲-۳-۵ طرح مکعب لاتین. ۴۰

۲-۳-۶ روش آدوز-اگلیز. ۴۰

۲-۴ نتیجه‌گیری در روش سطح پاسخ. ۴۳

۲-۵ شبکه عصبی. ۴۳

۲-۵-۱تاریخچه شبکه‌ی عصبی مصنوعی. ۴۳

۲-۵-۲ معرفی شبکه عصبی مصنوعی و مقایسه با شبکه‌های عصبی زیستی. ۴۴

۲-۵-۳ مقایسه شبکه عصبی با کامپیوتر‌های سنتی و روش‌های محاسباتی متداول. ۴۷

فصل سوم. ۵۰

یک الگوریتم کارآمد برای تقریب کریجینگ و بهینه‌سازی با داده‌های نمونه‌گیری در مقیاس بزرگ.. ۵۰

۳-۱ مقدمه. ۵۰

۳-۲ برآورد کریجینگ.. ۵۳

۳-۳ الگوریتم کریجینگ سریع. ۵۴

۳-۴ نتیجه‌. ۵۹

فصل چهارم. ۶۱

رابطه‌ی بین مرز و خطای برآورد ۶۱

۴-۱ مقدمه. ۶۱

۴-۲ مسئله‌ی یک بعدی.. ۶۱

۴-۲ مسئله دو بعدی.. ۶۴

۴-۳ بهینه‌سازی ساختار با استفاده از روش ارائه شده ۶۹

۴-۳-۱ بهینه‌سازی طرح‌بندی از ساختار پرتو. ۷۰

۴-۳-۲ بهینه‌سازی فراوانی ویژه از ساختار یک بال. ۷۳

۴-۴ نتیجه‌گیری.. ۷۶

منابع. ۷۸

واژه‌نامه. ۸۰

پیشگفتار

کریجینگ به روش‌های آماری و احتمالی گفته می‌شود که جزء روش‌های جبری و قطعی نیست درواقع این روش از مهم‌ترین و گسترده‌ترین روش‌های درون‌یابی زمین-آماری می‌باشد. روش کریجینگ جواب بهتری نسبت به سایر روش‌ها می‌دهد. به نظر می‌رسد عمده‌ی مطلب روش آنها در مورد اندازه‌گیری فضایی و درک یک فرآیند اتفاقی با ساختار کوواریانس با صرفه و از بهترین قضیه‌ی پیش‌بینی بهره‌مند می‌باشد. واژه‌ی کریجینگ از نام یک مهندس معدن آفریقایی به نام کریجی[۱] گرفته شده که تحقیقات اصلی را در زمینه‌ی درون‌یابی فضایی در سال (۱۹۶۰)، براساس نیاز به رسم نقشه‌ی درجه‌ی سنگ‌های معدنی از نمونه‌های گرفته شده توسط مته در مکان‌های جغرافیایی مختلف انجام داد. تحقیقات همزمان در مدرسه‌ی معدن پاریس انجام گرفت (به‌عنوان مثال ماترون[۲] ۱۹۶۵)، و کار اولیه در امتداد این خطوط به کولموگروف[۳] (۱۹۴۱)تا وبستر[۴](۱۹۹۸) نسبت داده شده است.

روش سطح پاسخ[۵] (RSM)مجموعه‌ای از تکنیک‌های ریاضی و آماری برای مدل‌سازی تجربی است. با طراحی دقیق آزمایش‌ها، به هدف بهینه‌سازی پاسخ (متغیر خروجی) که توسط چند متغیرمستقل تحت تاثیر قرار می‌گیرد (متغیرهای ورودی) دست می‌یابیم. در آمار روش سطح پاسخ به بررسی رابطه‌ی بین چند متغیر توضیحی و یک یا چند متغیر پاسخ می‌پردازد. روش سطح پاسخ در سال ۱۹۵۱ توسط باکس[۶] و ویلسون[۷] معرفی شد. ایده‌ی اصلی روش سطح پاسخ، استفاده از دنباله‌ای از طرح آزمایش‌ها برای به دست آوردن پاسخ مطلوب است.

شبکه‌های عصبی مصنوعی بر اساس رفتار‌شناسی ماشین‌های بیولوژیکی موجودات زنده طراحی شده است. هدف از شبکه‌های عصبی مصنوعی ارائه روش‌هائی جهت استفاده از سخت‌افزارها (مدارات) و نرم‌افزارها (الگوریتم‌ها) برای ایجاد قابلیت‌های هوشمند به دستگاه‌ها، ربات‌ها، برنامه‌ها و غیره …. می‌باشد که قادر به یادگیری حین فرآیند می‌باشند. در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم دانشمندان به پیدایش شبکه‌های عصبی علاقه‌مند شدند. در آن زمان شبکه‌های عصبی تنها در زمینه‌های فیزیک، روانشناسی و نروفیزیولوژی و در حد کاملاٌ ابتدایی کاربرد داشت. اولین سلول عصبی مصنوعی در سال ۱۹۴۳ توسط یک نروفیزیولوژیست به نام مک کلوث وارن[۸] و یک منطق‌دان به نام والتر پیتز ساخته شد که تنها یک مدل خطی ساده بود و محدودیتهای تکنولوژی آن زمان اجازه کار بیشتر را به آنها نداد..

در این‌جا هدف مطالعه‌ای مختصر بر روی هر سه روش خصوصاً روش درون‌یابی کریجینگ می‌باشد.

فرمت : ورد با قابلیت ویرایش در متن

تعداد صفحات: ۷۸صفحه با فونت bnazanin

فصل اول

کریجینگ

۱-۱ مقدمه

درون‌یابی بهینه بر پایه‌ی رگرسیون در برابر مقادیرZ مشاهده شده از اطراف نقاط داده، که با توجه به مقادیر کواریانس فضایی وزن داده شده باشد را کریجینگ گویند. معنای درون‌یابی، برآورد یک متغیر در یک موقعیت اندازه‌گیری نشده از مقادیر مشاهده شده در مکان‌های اطراف آن می‌باشد. به عنوان مثال، برآورد تخلخل[۹] در بر پایه‌ی مقادیر تخلخل در نزدیکترین شش نقطه‌ی داده در یک منطقه‌ی داده‌ی ما است که متغیر مورد نظر به عنوان یک تابع از موقعیت مکانی (در این مثال) تخلخل می‌باشد.

شکل (۱-۱): داده‌های مصنوعی برای بخش (۱-۱)

به نظر معقول و منطقی می‌رسد که را به وسیله‌ی میانگین وزنی ، با وزن‌های که با برخی توابع فاصله نزولی از u مانند ، که به داده‌ی نقطه‌ی وزن داده شده‌اند، برآورد کرد.

تمام الگوریتم‌های درون‌یابی (مربع فاصله معکوس، اسپلاین[۱۰]،توابع پایه‌ای شعاعی، مثلث‌سازی، و غیره) برآورد کردن مقدار درمحل داده شده به عنوان یک مجموع وزنی از مقادیر داده در اطراف آن محل است. تقریباً تمام وزن‌های اختصاص داده شده با توجه به توابعی است که یک وزن نزولی با فاصله‌ی تفکیکی افزایشی دارند.

کریجینگ وزن‌ها را بر طبق تابع وزنی نسبتاً داده محور، به‌جای یک تابع دلخواه، اختصاص می‌دهد، امّا هنوز هم فقط یک الگوریتم درون‌یابی الحاق خواهد شد و نتایج بسیار شبیه به دیگران در بسیاری از موارد خواهد داد (ایزاک[۱۱]و استاوا[۱۲]،۱۹۸۹). به‌طور خاص:

اگر مکان داده‌ها نسبتاً متراکم باشد و به‌طور یکنواخت در سراسر منطقه‌ی مورد مطالعه توزیع شده باشد، برآوردهای نسبتاً خوبی صرف‌نظر از الگوریتم‌های درون‌یابی خواهید داشت.
اگر مکان داده‌ها در چند خوشه با فاصله‌ی زیاد در بین باشد، به شما بدون در نظر گرفتن الگوریتم درون‌یابی برآوردهای غیرقابل اطمینان می‌دهد.
تقریباً تمام الگوریتم‌های درون‌یابی بالاترین مقدار را کم‌برآورد و پایین‌ترین مقدار را بیش‌برآورد می‌گیرد‌، این ویژگی ذاتی میانگین ‌است و اگر یک الگوریتم درون‌یابی، میانگین نبودبه نظر معقول و منطقی نمی‌رسید.

۱-۲ مزایای استفاده ازکریجینگ

برخی مزایای استفاده از کریجینگ را به شرح ذیل بیان می‌داریم.

به جبران اثرات خوشه‌بندی داده‌ها کمک می‌کند؛ به نقاط منحصر به‌فرد در خوشه، وزن کمتر از نقاط جدا افتاده اختصاص می‌دهد (یا، خوشه‌ها بیشتر شبیه به نقاط منفرد عمل می‌کنند)
تخمینی از خطای برآورد را می‌دهد (واریانس کریجینگ)؛ همراه با برآورد متغیر Z (اما نقشه‌ی خطا اساساً نسخه‌ای کوچک از نقشه‌ی فاصله تا نزدیک‌ترین نقطه داده‌ها است، پس منحصر به فرد نیست)
در دسترس بودن برآورد خطا پایه‌ای برای شبیه‌سازی تصادفی از امکان تحقق Z(u) را فراهم می‌کند.

۱-۳ روش کریجینگ و اصطلاحات

گووارتز[۱۳] (۱۹۹۷) بیان می‌دارد که همه برآوردگرها کریجینگ هستند، اما انواع دیگری از برآورد رگرسیون خطی پایه به صورت زیر تعریف می‌شود.

(۱-۱)

که در آن

: بردارهای مکان برای برآورد نقطه و یک همسایگی نقطه‌ی مشخص شده با اندیسα

n(u): تعدادی از نقاط داده‌ها در همسایگی محل مورد استفاده برای برآورد

: مقادیر مورد انتظار( میانگین‌ها) از و

: وزن کریجینگ است که به جزئیات برای برآورد موقعیت u اختصاص داده شده است؛ همان جزئیات وزن‌های مختلف را برای موقعیت برآورد‌های مختلف دریافت می‌کند.

به عنوان یک رشته تصادفی با مولفه‌ی روند، و یک مولفه‌ی باقی‌مانده است. باقی‌مانده‌ی برآورد کریجینگ در u به عنوان مجموع وزنی باقی‌مانده در اطراف نقاط داده‌ای است. وزن داده‌ها از تابع کوواریانس مشتق شده یا نیمه‌واریوگرام[۱۴]است که باید مولفه‌ی باقی‌مانده مشخص شود. تمایز بین روند و باقی‌مانده تا حدودی اختیاری است و با مقیاس متفاوت است.

کار را با داده‌های مثال تخلخل ادامه می‌دهیم، شامل جستجوی جزئیات در نتیجه‌ها در منطقه‌ای معین از نقطه داده‌هایی است که قبلاً نشان داده شده است:

شکل (۱-۲): جستجوی شش نقطه داده شده در منطقه معین

۱-۴ مبانی کریجینگ

مجدداً، فرمول اساسی از برآوردگر کریجینگ به صورت زیر را می‌نویسیم.

(۱-۲)

هدف تعیین‌کردن وزن‌ها، است، که واریانس برآوردگرتحت محدودیت ، را به حداقل برساند.

(۱-۳)

در میدان تصادفی[۱۵] Z(u) به مانده و مولفه‌ی روند، Z(u)=R(u)+m(u) تجزیه شده است. با مولفه‌ی باقی‌مانده که در یک میدان تصادفی با میانگین ثابت صفر و کوواریانس ثابت رفتار می‌کند (یک تابع تاخیر h، امّا نه در موقعیت u):

(۱-۴) E { R (u ) } =0

(۱-۵)

تابع کوواریانس باقی‌مانده به طور کلی از مدل نیمه‌واریو‌گرام ورودی گرفته شده است

(۱-۶)

بنابراین نیمه‌واریو‌گرام که به برنامه‌ی کریجینگ داده‌ایم باید نشان‌دهنده‌ی مولفه‌ی باقی‌مانده از متغیر باشد. سه گونه کریجینگ اصلی، ساده، معمولی، و کریجینگ با یک روند، رفتارشان در مولفه‌ی روند، m(u) متفاوت است.

۱-۴-۱ کریجینگ ساده

برای کریجینگ ساده، فرض می‌کنیم که مولفه‌ی روند، ثابت و میانگین معلوم، m(u)= m، است به‌طوری که

(۱-۷)

این برآورد به صورت خودکار نااریب است، از آنجا که به طوری که . خطای برآورد یک ترکیب خطی از متغیرهای تصادفی است که نشان‌دهنده‌ی باقی‌مانده در نقاط داده‌ها، ، و نقطه برآورد است:

(۱-۸)

با استفاده از قوانین برای واریانس یک ترکیب خطی از متغیرهای تصادفی، واریانس خطا به وسیله‌ی فرمول زیرداده می‌شود:

(۱-۹)

برای به‌حداقل رساندن واریانس خطا، مشتق عبارت بالا را با توجه به هر یک از وزن‌های کریجینگ می‌گیریم و هر یک ازمشتق‌ها را به صفر می‌رسانیم. این روش منجر به دستگاه معادلات زیر می‌شود.

(۱-۱۰)

به خاطر میانگین ثابت، تابع کوواریانس برای Z(u) همان مولفه برای بخش باقی‌مانده است، ، به ‌طوری که می‌توان معادلات در کریجینگ ساده را به‌طور مستقیم برحسب عبارت C(h) نوشت:

(۱-۱۱)

که می‌توان آن را به صورت ماتریس به عنوان زیر نوشت:

(۱-۱۲)

که در آن ماتریس کوواریانس بین نقاط داده است، باعناصر ، k بردار کوواریانس بین نقاط داده‌ها و نقطه برآورد، با عناصر داده شده توسط و بردار وزن‌های کریجینگ ساده برای داده‌های اطراف آن است. اگر مدل کوواریانس مجاز باشد (به معنی این که مدل نیمه‌واریو‌گرام متضمن مجازباشد) و هیچ دو داده کنار یکدیگر قرار نگیرند،آن‌گاه ماتریس کوواریانس داده مثبت قطعی است و می‌توان وزن‌های کریجینگ را با استفاده از فرمول زیر حل کرد.

(۱-۱۳)

زمانی که وزن‌های کریجینگ را داریم، می‌توان هم برآورد کریجینگ و هم واریانس کریجینگ را محاسبه کرد که فرمول آن پس از جایگزین کردن وزن کریجینگ در عبارت واریانس خطا در (۱-۱۴) داده شده است:

(۱-۱۴)

مجموعه‌ای از وزن‌ها برای برآورد مقدار متغیر در محل u از مقادیر یک مجموعه در همسایگی نقاط داده‌ها می‌یابیم. به‌طور کلی وزن در هر نقطه داده با افزایش فاصله ‌تا آن نقطه، کاهش می‌یابد که با توجه به کاهش کوواریانس برآورد داده‌ها در بردار سمت راست k مشخص می‌شود. با این حال، مجموعه‌ای از وزن‌ها نیز برای حساب افزونگی در بین نقاط داده‌ها طراحی شده و در کوواریانس نقطه به نقطه درماتریس K نشان داده شده است. ضرب K توسط ( در سمت چپ) نقاط با وزن پایین‌تر در خوشه‌های همسایگی نقاط جدا شده در همان فاصله می‌افتد.

کریجینگ ساده را در داده‌های تخلخل با استفاده از نیمه‌واریو‌گرام کروی که قبلاً برازش داده‌ایم، با ناگت[۱۶]صفر،آستانه ۷۸/۰، و دامنه‌ی ۴۱۴۱ متراعمال می‌کنیم.

شکل ۱-۳: اعمال نیمه‌واریوگرام کروی روی داده‌های تخلخل

از آنجا که از نیمه‌واریو‌گرام کروی استفاده کردیم، کوواریانس تابع برابر است با

(۱-۱۵)

برای مسافت‌های جدایی h، بالاتر از ۴۱۴۱ متر، و صفر، فراتر از آن محدوده می‌شود. نمودار (۱-۴) نشان می‌دهد که عناصر بردار سمت راست، ، از متصل کردن فاصله‌ی داده به برآورد نقطه به این تابع کوواریانس به دست آمده است:

شکل (۱-۴): عناصر بردار با متصل کردن فاصله‌ی داده به برآورد نقطه

ماتریس فواصل بین هر جفت از نقاط داده‌ها (گرد شده به نزدیکترین متر) برابر است با:

	نقطه ۱	نقطه ۲	نقطه ۳	نقطه ۴	نقطه۵	نقطه ۶
نقطه ۱	۰	۱۸۹۷	۳۱۳۰	۲۴۴۱	۱۴۰۰	۱۲۶۵
نقطه ۲	۱۸۹۷	۰	۱۲۸۱	۱۴۵۶	۱۹۷۰	۲۲۸۰
نقطه ۳	۳۱۳۰	۱۲۸۱	۰	۱۵۲۳	۲۸۰۰	۳۲۰۶
نقطه ۴	۲۴۴۱	۱۴۵۶	۱۵۲۳	۰	۱۵۲۳	۱۹۷۰
نقطه۵	۱۴۰۰	۱۹۷۰	۲۸۰۰	۱۵۲۳	۰	۴۴۷
نقطه ۶	۱۲۶۵	۲۲۸۰	۳۲۰۶	۱۹۷۰	۴۴۷	۰

این را به یک ماتریس کواریانس داده‌ها تبدیل می‌کنیم:

(۱-۱۶)

(گرد شده با دو رقم اعشار) به ویژه به همبستگی نسبتاً بالا که بین نقاط (۵) و (۶)،برقرار است و ۴۴۷ متر از هم جدا شده است توجه داشته باشید.

در نتیجه بردار وزن کریجینگ را داریم

(۱-۱۷)

توجه کنید که نقطه داده‌ی (۶) نسبت به داده‌ی نقطه (۱) وزن بسیار کوچکی به خود اختصاص داده است، با وجود این‌که هر دو در حدود همان فاصله از نقطه‌ی برآورد و همان کوواریانس نقطه داده به نقطه برآورد قرار دارند. دلیل این است که نقطه داده (۶) به‌طور موثر توسط نقطه‌ی نزدیکش (۵) “به نمایش” گذاشته شده است. داده‌های(۵) و (۶) به‌طور منصفانه به شدت با یکدیگر همبسته است و (۵) دارای همبستگی قوی‌تر با نقطه برآورد می‌باشد، بنابراین داده‌ی نقطه (۶) به طور موثر نادیده گرفته می‌شود. توجه داشته باشید که کوواریانس و در نتیجه وزن‌های کریجینگ به طور کامل توسط پیکربندی داده‌ها و مدل کوواریانس مشخص می‌شوند، نه مقدار واقعی داده‌ها.

تخلخل در نقاط (۵) و (۶) می‌تواند در واقع بسیار متفاوت باشد وهیچ اثری روی وزن کریجینگ نداشته باشد. مقدار متوسط تخلخل برای ۸۵ حلقه گودی۷۰/۱۴٪ است، و مقدارتخلخل در شش گودی مورد مثال ۸۴/۱۳٪، ۱۵/۱۲٪، ۸۷/۱۲٪، ۶۸/۱۲٪،۴۱/۱۴٪ و ۵۹/۱۴٪ است. برآورد مانده از میانگین در u با ضرب داخلی وزن کریجینگ و بردار مانده در نقاط داده‌ها داده شده است:

(۱-۱۸)

افزودن میانگین به این برآورد مانده، برآورد تخلخل را می‌دهد.

به طور مشابه، متصل کردن وزن کریجینگ و بردار kبه بیان برآورد واریانس، واریانس ۲۳۸/۰ را می‌دهد (مربع %). با توجه به این اطلاعات، می‌توان نشان داد تخلخل در توزیع نرمال با میانگین ۸۳/۱۲٪ و انحراف معیار۴۹/۰٪ را دارد. توجه داشته باشید که مانند وزن‌های کریجینگ، برآورد واریانس نیز به طور کامل به پیکربندی داده و تابع کوواریانس بستگی دارد، نه به خود مقدار داده. واریانس برآورد کریجینگ صرف‌نظر از این که مقدار تخلخل واقعی در همسایگی متغیر بسیار شبیه و یا بسیار بالا باشد همان است. تاثیر مقادیر داده‌ها، از طریق برازش مدل نیمه‌واریو‌گرام، کاملاً غیر‌مستقیم است. در این‌جا برآورد کریجینگ ساده و انحراف معیار روی شبکه ۸۰×۱۰۰ با فاصله ۱۰۰ متر با استفاده از مدل نیمه‌واریو‌گرام کروی و برآورد هر یک از مقادیر شبکه از ۱۶ مقدار از نزدیکترین نقاط داده (مکان‌های خوب) می‌باشد:

شکل (۱-۵): برآورد تخلخل (%)با استفاده از کریجینگ ساده

شکل (۱-۶): انحراف معیار کریجینگ ساده

به برخی از ویژگی‌ها توجه کنید:

همواری: سطح کریج اساساً با توجه به محدودیت‌های داده‌ها تا حد ممکن هموارخواهد بود، در بسیاری از موارد، احتمالاً هموارتر از سطح “واقعی” است.
مرکز هدف: از آنجا که میانگین کریجینگ بین نقاط داده‌ها است، موقعیت دورترین نقطه معمولاً در مکان خوبی خواهد بود. پس مرکز هدف اجتناب‌ناپذیر است. این تقریباً برای تمام الگوریتم‌های درون‌یابی درست است. شکل بی‌نهایت این ناپیوستگی مصنوعی در مکان‌های خوب است وقتی که مدل نیمه‌واریو‌گرام شامل ناگت معنی‌دار باشد.
نقشه‌ی خطا نشان‌دهنده‌ی مکان داده‌هاست، نه مقدار داده‌ها: نقشه انحراف معیار کریجینگ به طور کامل به پیکربندی داده‌ها و تابع کوواریانس بستگی دارد؛ در اصل یک نقشه، فاصله تا نزدیکترین موقعیت خوب مدرج شده توسط تابع کوواریانس است.

۱-۴-۲ کریجینگ معمولی

برای کریجینگ معمولی، به جای این که میانگین را در طول کل دامنه ثابت در نظر بگیریم، فرض می‌کنیم که میانگین در همسایگی مکان هر یک از نقاط برآورد ثابت است؛ یعنی برای هر مقدار داده‌ی نزدیک، از به منظور برآورد استفاده می‌کنیم. در این مورد، برآوردگر کریجینگ را می‌توان به صورت (۱-۱۹) نوشت.

[۱]Krige, D. G.

[۲]Matheron

[۳]Kolmogorov

[۴]Webster

[۵]Response Surface Method

[۶] G. E. P. Box

[۷] K. B. Wilson

[۸] McCulloch Warren

[۹] در اصطلاح زمین‌شناسی، پوکی یا تخلخل یکی از خصوصیات سنگ‌ها و خاک‌ها است که با نمایش داده می‌شود. پوکی نسبت فضای حفره‌ای یک سنگ (خاک) است به فضای کلی آن: بنابراین پوکی عددی است بین صفر تا یک. همچنین با ضرب کردن این میزان در ۱۰۰ می‌توان آن را بصورت درصد نیز بیان کرد.

[۱۰]Splines

[۱۱] Isaaks

[۱۲] Srivastava

[۱۳] Goovaerts, 1997

[۱۴]Semivariogram

[۱۵]random field (RF)

[۱۶]nugget

نام:
ایمیل:
پیام :
ارسال

کافی نت دی آموزشهای اینترنتی،دانلود مقاله،دانلود پایان نامه

مطالعه‌ای بر روش درون‌یابی کریجینگ